Contando cartas

Problema

Una baraja de cartas esta compuesta por 4 suites (Corazones, Diamantes, Espadas y Tréboles  y 13 cartas de cada suite (A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K). En total son 52 cartas. De cuantas maneras podemos escoger 5 cartas de la baraja tomando al menos 3 cartas de corazones?

Solución

Lo primero que debemos notar al resolver el problema es que de las 5 cartas que seleccionemos, pueden haber 3, 4 ó 5 corazones, ya que el problema dice “al menos 3”. Con esto en mente, podríamos calcular las formas de escoger 5 cartas de las cuales 3 sean corazones, o 5  cartas de las cuales 4 sean corazones, o 5 cartas todas corazones, y sumarlas para obtener el resultado final.

Al escoger 5 cartas con 3 corazones tenemos que seleccionar 3 cartas de 13 posibles (las 13 cartas de corazones). Esto lo podemos hacer de C(13, 3) formas distintas. Las 2 restantes las podemos seleccionar de de 52-13 posibles (todas las demás cartas que no son corazones) y esto es C(52-13, 2).  Como por cada selección que hagamos para las primeras 3 cartas tenemos varias opciones para las 2 restantes, aplicamos el principio de multiplicación para obtener un total de C(13, 3)×C(52-13, 2) formas diferentes.

Para escoger 5 cartas con 4 corazones seguimos un razonamiento similar. Escogemos 4 de 13 posibles y 1 de 52-13 posibles. En total son C(13, 4)×(52-13). Para escoger las 5 cartas de corazones, tenemos que escoger 5 de 13 posibles. Esto es C(13, 5). Al sumarlas todas tenemos que existen C(13, 3)×C(52-13, 2) + C(13, 4)×(52-13) + C(13, 5) = 309452 posibles selecciones.

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